Когда мы говорили про измерение базиса, уважаемый Netlog позволил себе усомниться в оценке точности измерения базиса вехами. И был совершенно прав. Тут "дьявол", как обычно, в деталях. Это текст про измерения, поэтому смело пропускайте его, если вас интересуют приключения. Они скоро воспоследуют в следующей части.
Я тут ступаю на тонкий лед, но все же хочу поговорить о том, какая это относительная вещь: точность, погрешность и их оценка до того как вообще ввели понятие средней квадратической погрешности (СКП).
"Геодезист верит только себе и только до обеда" - любил говаривать один из моих учителей, Юрий Евгеньевич Федосеев.
И каждому геодезисту (и вообще, любому техническому специалисту, чья судьба связана с измерениями) с первого курса вдалбливают: полученная тобой величина не имеет никакого смысла без оценки того, с какой точностью она измерена.
То есть, можно получить скамейку длиной в 1.0 м, измеренную с погрешностью в 0,5 м (это неприемлемо). А можно получить стол длиной 1.000 м, измеренный с точностью 1 мм, и это будет хорошо.
В 1730-е годы, о которых мы говорим, представление об оценке точности было. А вот устоявшихся и унифицированных процедур (вроде вычисления средней квадратической погрешности) - не было. Поэтому каждый творчески подходил к оценке своих измерений. И лично мне это особенно любопытно.
Кстати, я еще застала период, когда ученые мужи ломали копья: как правильно - среднеквадратическая погрешность или ошибка? Мол, если ошибка, то она должна быть систематической и намеренной, а мы говорим о случайных огрехах. Так или иначе, сейчас приняты сокращения СКП (среднеквадратическая погрешность), СКО (среднеквадратическое отклонение) и СКОш (среднеквадратическая ошибка, которую вы можете встретить только в старых учебниках).
Так вот, вернемся в наше Перу. Базис Яруки был протяженностью 7 миль (12 км). Много это или мало? Кассини во Франции работал с базисами длиной 6 миль (9,5 км) и 9 миль (14 км). Так что в Перу было в самый раз.
Каждая бригада имела три деревянных мерных вехи. Два-три раза в день длина вехи проверялась относительно эталонного туаза (1,9 м). Годен работал с оригиналом туаза, Буге - с копией, изготовленной на месте мастером Гюго. Сразу же в измерения вводились поправки за расширение (сжатие) вех.
Cхема прибора, изготовленного мастером Гюго для сравнения вехи с эталоном. A.Lafuente, Delgado, La geometrizacion de la tierra observaciones y resultados de la expedicion geodesica hispano-francesa al virreinato del Peru 1735-1744.
После 3 ноября 1736 года две бригады сравнили полученные расстояния. Они отличались на 2 дюйма, 10 линий. Разница составила около 7 см при расстоянии в 12 км. Договорились принять за итоговое значение длины базиса 6272 туаза, 4 фута 3 дюйма, 7 линий. Именно эта информация и была отправлена в Париж.
Является ли это расхождение: 7 см на 12 км относительной погрешностью измерений? Как бы, нет. Это просто сходимость двух результатов. Может быть, просто повезло, может быть, ученые молодцы. Я в прошлом посте про базис предложила сравнение с погрешностью тахеометра (5-6 см на 12 км). Мне показалось это хорошей иллюстрацией к порядку точности работ.
Но тут есть и лукавство: а) это средняя квадратичкеская погрешность измерения расстояния тахеометром (а не сходимость результатов) б) никто десятки километров одним приемом тахеометром не измеряет.
До сих пор с базисом все шло у ученых отлично для их времени. Дальше каждый по-своему осуществлял вычисление горизонтального проложения (то есть, приводил линию к горизонтуна уровне Карабуро) Dk, а потом опускал на уровень моря Dm.
Зачем это делали? Затем, что и сегодня: все измерения в геодезии редуцируют, то есть опускают на единую поверхность (сегодня это эллипсоид, тогда, из-за его отсутствия - уровень моря). Только так, на одной поверхности, можно корректно сравнивать парижские измерения и экваториальные. На картинке ниже видно, что линия, измеренная на высоте вулкана Карабуро будет длиннее, чем та же линия, спроектированная на уровень моря.
Серое — результат измерений. Dm — расстояние на уровне моря, с которым потом работали.
Чтобы осуществить все эти превращения, ученым нужно знать:
1) измеренное наклонное расстояние (ура, измерили!)
2) наклон измеренной линии (разность высот между Карабуро и Оямбаро).
3) Высоту над Карабуро над уровнем моря.
3) примерный радиус Земли (ха-ха, они как раз его и должны были определить!).
Как искали превышение Оямбаро над Карабуро?
Для этого у ученых были квадранты (метод называется тригонометрическое нивелирование).
Мы знаем наклонное измеренное расстояние (гипотенузу треугольника). И можем измерить вертикальный угол (угол возвышения Оямбаро над горизонтом Карабуро). Горизонтальное проложение - это измеренное расстояние, помноженное на косинус вертикального угла.
Как искали высоты Оямбаро и Карабуро над уровнем моря? Это сейчас можно открыть Гугл карты. В тот 1736 году надеялись обойтись барометрическим нивелированием. На каждом из концов базиса замеряли давление ртутными барометрами.
работа с ртутным барометром из "наблюдений" Хуана и Ульоа
Откуда брали примерный радиус Земли?
Лакондамин и Буге использовали большую полуось ту же, что и у Кассини (3255398 туазов или 6344770 м). Годен указал величину, предложенную Ньютоном: 3276500 туазов. Это это давало разницу порядка 10^-6 в измеренный базис (1,2 мм, незаметная величина).
Были и другие математические преобразования, которые ученые решили произвести с базисом (причем каждый, исходя из собственных представлений о здравом смысле).
Буге рассуждал, что измерена не линия, а ломаная, состоящая из отрезков, расположенных на разной высоте. И он выполнил интегрирование этих отрезков, чтобы уточнить линию, которая измерялась.
Поскольку превышение между Карабуро и Оямбаро определяли, измеряя вертикальный угол между ними, то большое внимание уделяли рефракции.
Рефракция - это отклонение луча света в атмосфере. Так что мы наблюдаем не настоящий угол между Карабуро и Оямбаро, а отклоненный. И значит, должны его исправить на влияние рефракции.
Атмосферная рефракция (Википедия). На самом деле солнце (желтое) находится ниже горизонта S. Но, поскольку луч отклоняется вверх, мы видим солнце S' — выше горизонта и измеряем не тот угол, на котором на самом деле находится солнце.
Эффект рефракции был описан в середине 17 века (Снеллом и Декартом независимо), но астрономы XVIII века упражнялись в том, чтобы определять влияние рефракции в любом удобном случае. Ее влияние зависит от высоты наблюдаемого объекта над горизонтом, а также температуры, влажности и атмосферного давления.
Годен действовал по следующей схеме:
Он сравнивал вертикальный угол (возвышение одного сигнала над другим) измеренный и рассчитанный эмпирически (по результатам барометрического нивелирования). И считал, что разница между этими углами и будет рефракцией. Величина получалась значительной (около 50”) и в которых измерениях была “отрицательная рефракция. Которую Годен называл “антирефракцией”). Физически это не имеет никакого смысла, но тогда кто же об этом знал?
Буге пошел другим путем. Он не доверял барометрам (ртуть частично испарилась, а купленная на месте обладала несколько иными свойствами). Поэтому отложил введение поправок за высоту над уровнем моря до 1740 года, когда предпринял двухмесячную поездку к побережью, чтобы тригонометрическим способом передать высоту от уровня моря на видимые горные вершины.
Лакондамин, описывает свой собственный ход рассуждений по поводу отыскания влияния рефракции на измеренные вертикальные углы, однако его результаты противоречат результатам Годена, так что он в конечном счете принимает за горизонтальное проложение базиса величину, близкую к той, которую подсказывал Годен: 6274 туаза 6 дюймов.
Чтобы проконтролировать “висячую” цепочку триангуляции, бригады наметили измерения контрольного базиса в южной части дуги в районе Куэнки.
Что такое контрольный базис? Это такая длина стороны одного из треугольников, которая будет известна из вычислений и из непосредственных измерений. Сравнивая вычисленную сторону с измеренной мы сможем проконтролировать качество проделанных работ.
К концу 1739 года атмосфера в экспедиции была такой неблагоприятной, что участники так и не договорились о месте для второго контрольного базиса. Годен и Хуан выберут один отрезок, Ульоа, Буге и ЛаКондамин - другой. С 1739 года у экспедиции два базиса и разные наборы треугольников, которые к ним ведут.
Картинка из интернетов со схемой триангуляции. Оранжевым отмечены базисы: их несколько, чтобы проконтролировать измерения в сети.
Годен и Хуан выбрали базис Гуанакуру-Баньос. На его измерение потратили 21 день. Створ проходил рядом с городом Куэнка, поэтому пришлось разрушить несколько стен и косвенно измерить расстояние через реку. Длина его составила 6 197 туазов 3 фута 8 дюймов, разница между вычисленным и полученным составляет 1 туаз - 1 дюйм (1,942м). При этом Хорхе Хуан считает, что цифры бы сошлись совершенно (?), если бы не разница температур на севере и юге в 8 градусов, которая привела к иному сжатию вех.
второй "контрольный" базис был где-то тут
Буге, Ульоа и Лакондамин выбрали долину вулкана Тарки. Базис был короткий: 6 миль длиной. Разница между вычисленным и измеренным составила всего 1 фут (30 см), что странно, учитывая то, что частично базис находился на болоте и вехи просто “плавали” по поверхности болота. Во время работы над этим базисом Антонио Ульоа был ранен молодым “метисом”. Но мы не будем подозревать ученых в "подгонке".
Окрестности Тарки (фото из интернетов), там был второй базис у Буге.
Итог: если первичные измерения у ученых сходились в пределах 7 см на 12 км, то проверка вычисленное-измеренное уже расходилось до 1,5 метров. Но они не афишировали этот факт в своих рукописях. Да и сами узнали это только в 1740 году (через три года после начала работ).
